Niels Henrik Abel (página 2)

Desde aquel momento Abel se consagra a las
matemáticas con la pasión más ardiente,
adquiriendo velozmente un pleno conocimiento de las elementales.
Con Holmboe, Abel se familiarizó con resultados superiores
conocidos en su época, afanándose en las tres obras
de L. Euler (1707-1803) sobre el cálculo, de I. Newton
(1642-1727), de (1777-1855), de J.L. Lagrange (1736-1813) y otras
clásicas de grandes maestros. Investigó por su
cuenta y años más tarde al inquirirle cómo
se situó tan rápido en primera fila, replicó
"estudiando a los maestros, no a sus discípulos" [2].A la
sazón, el padre de Abel fallecía en 1820, sumiendo
a la familia en situación trágica. En 1821 Abel
logra ser matriculado en la Universidad de Oslo y ante una
solicitud de Holmboe, muy convencido de que aquel frágil
estudiante de tez cetrina con atuendo descuidado, era uno de los
más grandes matemáticos de todos los tiempos, se le
concede alojamiento gratuito y algún dinero para
pequeños gastos. Sería graduado en 1822.Una
familiar acogida la había encontrado Abel en la casa del
catedrático de Astronomía de Oslo (estudioso del
magnetismo terrestre) Ch. Hansteen, cuya esposa lo cuidó
como si fuese su propio hijo. En la revista Magazin for
Naturvidenskaben que se imprimió en Noruega en 1823, se
publicaron algunos breves trabajos de Abel, entre ellos uno en el
que aparece por primera vez el planteamiento y la solución
de una ecuación integral.Una vez abandonada la escuela,
Abel creyó en principio, como dijimos, haber resuelto el
problema de la quíntica; pero a la vista de que ni Holmboe
ni ninguno de los mejores matemáticos de Noruega
(Hansteen, Rasmussen, …) pudieron comprobar la veracidad de su
conjetura, envió a través de Holmboe la presunta
resolución al matemático profesor F. Degen en
Copenhague, para que la presentase a la Real Sociedad de Ciencias
de Dinamarca. Degen le contestó requiriéndole
algún ejemplo numérico, y sin comprometerse a dar
su opinión. Esa respuesta contenía una advertencia
de que "estudiara las integrales elípticas". Al buscar
ejemplos, hallaría el mentado error, que fue corregido
más tarde, para probar la imposibilidad; este trabajo
también contenía un error (al clasificar
funciones), si bien, por fortuna, no esencial para el
argumento[9, II].Más tarde se le concedió a Abel
una modesta beca para visitar a Degen en Copenhague. Allí
conoció también a Cristina Kemp, que un tiempo
después sería su novia. Otro nuevo estipendio le
fue dado por el Gobierno noruego, con recursos suficientes para
visitar los centros matemáticos más importantes del
continente (en Alemania y Francia). Por esa dotación tuvo
que aguardar más de año y medio, tiempo que
dedicó a estudiar francés y alemán, sin
abandonar su perseverante entrega a las matemáticas. En
agosto de 1825 emprendió el viaje al extranjero, aunque
antes de partir editó una breve memoria en la que se
exhibía la idea de la inversión de las
elípticas. ¡ Cuán enorme sería el
desengaño que tuvo en su visita a Alemania, al enterarse
de que, sin siquiera leerla,
Gauss tildara de "monstruosidad" el folleto que Abel le
había enviado con su resultado! Eso le indujo tal
antipatía, que en una ocasión diría
"Gauss,
como el zorro, borra con la cola la senda que sigue, para no
dejar pista alguna de sus trabajos". La prodigiosa inventiva de
Abel se refleja en sus trabajos. En su memoria sobre el problema
anterior, destacó que se debían indagar las
condiciones para poder resolver algebraicamente ecuaciones de
cualquier grado, preludio de un paréntesis que
solventó más tarde E. Galois (1811-1832) para
sentar las bases de su teoría de ecuaciones mediante la de
grupos , mostrando que a cada ecuación corresponde un
grupo de sustituciones. Abel investigó la estructura de
los grupos conmutativos y mostró que son producto de
grupos cíclicos. No obstante, no destacaría en su
trabajo el concepto de grupo (ni , claro está, la
noción explícita de subgrupo normal). Se les
reconoce a Galois y a Abel, la creación del álgebra
moderna.Desde Copenhague, Abel marchó hacia Alemania, para
contactar cerca de Hamburgo con Schumacher (quien enviaría
el folleto antes citado a
Gauss) y de allí a Berlín. Llevaba una misiva
para el consejero de construcciones, August Leopold Crelle
(1780-1855), por quien sería cordialmente acogido. Con
más peso en el mundo matemático que su gran
benefactor Holmboe, Crelle era un destacado ingeniero, una de
cuyas obras fue el primer ferrocarril prusiano entre
Berlín y Postdam y autor también de algunos
trabajos matemáticos. Crelle sería un fuerte
impulsor de la matemática en Prusia, fundando (1825) el
Journal für die reine und angewandte Mathematik (Journal de
Crelle), revista pionera de matemática pura en el mundo y
la más prestigiosa de Alemania. Abel estableció una
cordial amistad con Crelle, quien pronto adivinó que
aquél era un genio. En los primeros números
editó 7 de sus trabajos; publicando 22 en total en el
Journal de Crelle.En Berlín leyó Analyse
Algébrique de A.L. Cauchy (1789-1857), de la que en uno de
sus artículos sobre la quíntica, ya había
usado resultados sobre permutacioçnes. En perjuicio de su
salud, Abel decidió desviar su ruta hacia la capital
francesa, dirigiéndose hacia el norte de Italia para
disfrutar unos días con sus compañeros Boeck y
Keilhau con quienes vino desde Noruega. En julio de 1826 se
trasladó a París, con una constelación
entonces de grandes matemáticos, a cuya mayoría
caracterizó algo despectivamente (como narraría a
Holmbo de "tan viejos que sólo quedaba de ellos su fama".
Sumergido éste en su propia tarea, o tal vez porque
vislumbrara en aquel mísero estudiante noruego un pobre
diablo con vanas quimeras o incluso quizás por
indiferencia al principiante, no prestó la debida
atención, lo olvidó y lo extravió. Al
parecer, cuando Abel se enteró de que Cauchy no lo
había leido, aguardó con resignación el
veredicto de la Academia (que nunca recibiría). Mas, al
informársele luego de su pérdida, resolvió
redactar de nuevo el principal resultado. "Aún siendo el
más penetrante de todos sus trabajos, constaba sólo
de dos breves páginas. Abel lo llamó estrictamente
Un teorema: un monumento colosal resumido en unas parcas
líneas". Al cabo de algún tiempo C.G. Jacobi
(1804-1851) tuvo noticias de lo sucedido por el propio Legendre,
a quien se dirigió (14 marzo 1829) exclamando:
"¿Cómo es posible que un descubrimiento
quizás el más importante de nuestro siglo, se
comunicara a su Academia hace dos años y escapara a la
atención de sus colegas ?". Esta pregunta se
extendió como un reguero de pólvora hasta Noruega,
lo que dio lugar a que su cónsul en París apremiara
una reclamación diplomática acerca del manuscrito
perdido. La Academia indagó y Cauchy lo encontró
algún tiempo después. En la contestación a
Jacobi, Legendre cuenta que al decidir redactar el oportuno
informe, ambos se retuvieron al sopesar que Abel ya había
publicado parte de la memoria en el Journal de Crelle.
¡¡ Sin embargo !!, "el ensayo no pudo publicarse
hasta 1841, un trabajo que luego Legendre calificó como
monumentum aere perennius, y Hermite (1822-1901) un legado para
más de 150 años. Para coronar esta epopeya, se
volvió a perder antes de ser leídas las pruebas de
imprenta. La Academia en 1830, concedió a Abel el Gran
Premio de Matemáticas, en unión con Jacobi, pero
Abel ya había fallecido. El episodio de París
sólo pudo anegarle de: "¡desdén,
indiferencia, miseria .Para mayor gloria de la ciencia, fue
determinante "el grito de alarma de Jacobi". No acabaron
ahí las peripecias habidas. "Cuando los noruegos L. Sylow
y
S. Lie elaboraban en la década 1870-1880 la
publicación de las obras completas de Abel se encontraron,
para colmo de sorpresas con que el manuscrito se había
perdido de nuevo".¿Qué había ocurrido esta
vez ? Según se supo más tarde, al profesor italiano
Guglielmo Libri, alumno de Legendre, se le responsabilizó
de seguir la impresión "finalmente encontrada por Viggo
Brun, de Oslo, en la biblioteca Moreniana de Florencia, tras
algunas pesquisas relacionadas con Libri". El manuscrito (salvo 8
páginas) se localizó en 1952. "Sus letras
pequeñas, el espacio muy aprovechado, las dos caras de
cada hoja escritas"

El manuscrito de Abel (que contiene el ya conocido como
su gran teorema) se refiere a la extensión del teorema de
adición de Euler para integrales elípticas, al caso
de integrales de funciones racionales R(x, y(x)) de la variable x
y de cualquier función algebraica y(x). Grosso modo, el
teorema enuncia "cualquier suma de integrales de la forma R(x,
y)dx, donde las variables están relacionadas por f(x,y)=0
(f=polinomio en x e y ), puede expresarse en términos de
un número fijo p de integrales de ese tipo más
términos algebraicos y logarítmicos". El
mínimo número p depende sólo de la
ecuación f(x,y)=0, el cual luego sería llamado
género de la misma. Esto muestra que reconoció
dicha noción fundamental antes que B. Riemann (1826-1866).
Abel transformó radicalmente la teoría de
integrales elípticas en la teoría de funciones
elípticas, haciendo uso de las funciones inversas de
aquéllas, mucho más fáciles de manipular. En
lugar de estudiar (como hizo Legendre) la integral
elíptica de primera especie mediante su expresión
en términos de funciones analíticas mejor
conocidas, Abel la consideró como una función x de
y, como una función elíptica. La función
inversa x = f(y) así obtenida, resultó ser
doblemente periódica y podía expresarse como
cociente de dos productos infinitos.¡Ese enfoque sencillo
supuso uno de los máximos progresos matemáticos del
siglo XIX! Los primeros resultados de Abel se publicaron en 1827,
con la idea central de la inversión (que ya bullía
en su mente desde 1823). Como ya se anticipó, el otro
descubridor de las funciones elípticas fue C.G. Jacobi que
había estudiado en la Universidad de Berlín. En
contraposición con Abel, provenía de una familia
judía de banqueros y disfrutaba de una vida
plácida. Jacobi también conocía la obra de
Legendre sobre integrales elípticas e investigó
casi a un tiempo que Abel sobre transformaciones racionales de
estas integrales. Presentó una comunicación (sin
pruebas) (1827) con la fecunda idea de Abel de las funciones
inversas, publicando (una vez probados los asertos pendientes)
varios artículos en la revista de Crelle (1828, 1830). El
concepto de inversión lo tenía Jacobi desde finales
de 1827, e hizo uso además de la doble periodicidad de las
funciones elípticas, y cuando conoció Abel la
publicación de 1828, se apresuró a mostrar que los
resultados de aquel trabajo eran consecuencias del suyo. Legendre
elogió el enorme mérito de Abel comentando:
"¡Qué cabeza tiene este noruego!"?9,II?, y en otra
ocasión, pleno de admiración "¡La
deducción tan vigorosa de los teoremas de
transformación de las funciones elípticas, es
superior a todos mis elogios, a todos mis trabajos!", y
preconizó asimismo "sus trabajos serán considerados
los más notables de nuestra época". Los logros de
Abel y Jacobi, serían descritos en suplementos al Tratado
de Legendre (1829 y 1832). Tanto el uno como el otro arribaron a
una parte fundamental de las funciones elípticas: las
funciones theta. Las funciones doblemente periódicas sn u,
cn u y dn u , son cocientes de funciones theta y satisfacen
ciertas identidades y teoremas de adición similares a las
de seno y coseno trigonométricas. Los teoremas de
adición de funciones elípticas, representan por
otra parte, aplicaciones especiales del teorema de Abel sobre la
suma de integrales de funciones algebraicas. Esta cuestión
dio origen a investigar las integrales hiperelípticas (una
generalización de las que Abel inició sus pasos,
para que se invirtieran al igual que las elípticas).
Jacobi dio la solución en 1832, naciendo así la
teoría de funciones abelianas de p variables. K.
Weierstrass (1815-1897) remodeló la teoría de
funciones elípticas y Gauss las investigó
también sin publicar sus resultados.El teorema de Abel
condujo alrededor de 1850 a B. Riemann , alumno de Gauss, a una
más amplia teoría de funciones multiformes
(tímidamente abordada por Cauchy), con una visión
que le suministró la clave del concepto de superficie de
Riemann, descubriendo el género de la misma como un
invariante topológico y como medio de clasificación
de las funciones abelianas. Sería la no univocidad de las
transformaciones conformes lo que llevó a Riemann a las
superficies de varias hojas con su nombre.El siglo XIX se
caracterizó por la reintroducción del rigor en las
demostraciones. Había "una tremenda oscuridad en el
análisis(…) nunca tratado con rigor" En París,
Abel se cargó de deudas y como la situación de su
madre y hermanos era ya desesperada, regresó a Oslo en
mayo de 1827. No pudo ocupar un trabajo regular apropiado, porque
Holmboe había sido contratado como profesor de la
Universidad noruega. Dio clases a escolares, en tanto
escribía artículos sobre las elípticas en su
competición con Jacobi. En 1828 Hansteen viajó a
Siberia, ocupando Abel su plaza docente. Aunque desde
hacía tiempo Abel padecía tuberculosis, en la
Navidad de ese año viajó en trineo a Fröland
para ver a su novia, empleada allí como institutriz de una
familia inglesa. Mediado 1829 empeoró a causa de una
hemorragia persistente. Padeció su peor agonía la
noche del 5 de abril y el día 6 falleció.
Tenía 26 años y ocho meses.Dos días
después de su muerte, una carta de Augusto Crelle,
anunciaba que la Universidad de Berlín le había
nombrado profesor de matemáticas. Gauss y Humboldt
solicitarían también una cátedra para Abel.
Legendre, Poisson y Laplace, escribieron asimismo al rey de
Suecia para que ingresara en la Academia de Estocolmo.Hay varios
mitos sobre su persona. Algunos le caracterizan como el Mozart de
la ciencia. Un monumento fue erigido por los amigos de Abel en su
tumba.Entre los muchos honores conferidos al joven sabio noruego,
figuran: Un cráter lunar lleva su nombre, una calle del
distrito duodécimo de París se denomina "rue Abel",
y una estatua del escultor Gustav Vigeland en 1908 fue erigida en
el Royal Park de Oslo.El Premio Abel (equivalente al Nobel) ha
sido instituido desde el año 2002, bicentenario de su
nacimiento.

Autor:

Bryan G.A.

Lima – Perú

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